Molnár József Újpesten született, Rákospalotán nőtt fel, itt végezte el az általános iskolát és a gimnáziumot. Az ELTE Bölcsészettudományi Karának magyar-történelem szakán 1967-ben szerzett diplomát.

Levéltárosi pályáját 1973-ban kezdte Budapest Főváros Levéltárában. 1978-ban nevezték ki az akkori Kulturális Minisztérium Levéltári Osztályának vezetőjévé, és ebben a beosztásban dolgozott 2004-ig, nyugállományba vonulásáig. A nevéhez kötődik az 1995. évi levéltári törvény kidolgozása. A nemzeti kulturális örökség minisztere megbízásából 2003-tól több éven át elnöke volt a Nemzeti Kulturális Alapprogram Levéltári Szakmai Kollégiumának.

Szakmai munkája elismeréseként 1996-ban Magyar Köztársasági Arany Érdemkereszt, 2000-ben Pauler Gyula Díj, 2004-ben Széchényi Ferenc Díj és ugyancsak 2004-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend Lovagkeresztje kitüntetésben részesült.

Végső búcsúztatására egy későbbi időpontban, a járványügyi helyzetre való tekintettel szűk körben kerül majd sor.